范德蒙行列式计算方法总结(范德蒙行列式的计算方法)

范德蒙行列式计算方法？

一个e阶的范德蒙行列式由e个数c?，c?，…，c?决定，它的第1行全部都是1，也可以认为是c?，c?，…，c?各个数的0次幂，它的第2行就是c?，c?，…，c?（的一次幂），它的第3行是c?，c?，…，c?的二次幂，它的第4行是c?，c?，…，c?的三次幂，…，直到第e行是c?，c?，…，c?的e-1次幂。

1）首先把行列式《掉个个》,成标准的范德蒙.需要进行n(n+1)/2次【逐行交换】

（因为行列式本身是 n+1 阶行列式）

Dn+1=(-1)^[n(n+1)/2] |1 1 1 . 1|

a a-1 a-2 . a-n

a2 (a-1)2(a-2)2..(a-n)2

a?(a-1)?(a-2)?…(a-n)?

2)按范德蒙展开公式展开

=[(a-n)-(a-n+1)][(a-n)-(a-n+2)]…[(a-n)-a]*(-1)(-2)..[-(n-1)].(-2)(-1)(-1)[(-1)^n(n+1)/2]

=[(-n)^1]*[-(n-1)^2]*[-(n-2)^3]*…*[(-2)^(n-1)]*[(-1)^n]*{(-1)^[n(n+1)]/2}

=[(-1)^(1+2+3+…+n)]*{(-1)^[n(n+1)/2]}*∏ k! (k=1 to n)

={(-1)^[n(1+n)/2+n(1+n)/2]}* ∏ k! (k=1 to n)

=[(-1)^n(n+1)]*∏ k ! （k=1 to n)

范德蒙（Vander Monde）行列式的定义为：

1 x1 x1^2 … x1^(n-2) x1^(n-1)

1 x2 x2^2 … x2^(n-2) x2^(n-1)

… … … … …. …

1 xn-1 xn-1^2 … xn-1^(n-2) xn-1^(n-1)

1 xn xn^2 … xn^(n-2) xn^(n-1)

行或列的形式不限，其值的计算为：

, 其中1<=j<i<=n

即在一个方向上，所有xi与之前的xj的差值的连乘。

证明方法：

（1）每一列乘以xn，然后后一列，减去前一列，得到最后一行，除了最后一行首列为1，其他列均为0；

（2）每一行提取（xi-xn）的公因式，其中1<=i<n

（3）从n-1递归计算到1；

应用领域：

利用范德蒙行列式，可以求出多项式的点值表示形式，而多项式的点值表示是快速傅里叶变换（FFT）的基础。

范德蒙行列式的特点？

范德蒙行列式

范德蒙公式用法？

范德蒙行列式就是在求线形递归方程通解的时候计算的行列式.若递归方程的n个解为a1,a2,a3,…,an

现假设范德蒙德行列式对n-1阶也成立,对于n阶有: 首先要把Dn降阶,从第n行起用后一行减去前一行的x1倍,然后按第一行进行展开,就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)…(xn-x1)Dn-1于是就有Dn=∏ (xi-xj)(其中∏ 表示连乘符号,其下标i,j的取值为m>=i>j>=2),原命题得证.

范德蒙得行列式怎么计算？

一个e阶的范德蒙行列式由e个数c1，c2，…，ce决定，它的第1行全部都是1，也可以认为是c1，c2，…，ce各个数的0次幂，它的第2行就是c1，c2，…，ce（的一次幂），它的第3行是c1，c2，…，ce的二次幂，它的第4行是c1，c2，…，ce的三次幂，…，直到第e行是c1，c2，…，ce的e-1次幂。

范德蒙德公式例题详解？

范德蒙行列式的标准形式为：即n阶范德蒙行列式等于这个数的所有可能的差的乘积。根据范德蒙行列式的特点，可以将所给行列式化为范德蒙德行列式，然后利用其结果计算。

范德蒙行列式就是在求线形递归方程通解的时候计算的行列式.若递归方程的n个解为a1,a2,a3,…,an

共n行n列用数学归纳法. 当n=2时范德蒙德行列式D2=x2-x1范德蒙德行列式成立现假设范德蒙德行列式对n-1阶也成立,对于n阶有: 首先要把Dn降阶,从第n列起用后一列减去前一列的x1倍,然后按第一行进行展开,就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)…(xn-x1)∏ (xi-xj)（其中∏ 表示连乘符号,其下标i,j的取值为n>=i>j>=2）于是就有Dn=∏ (xi-xj)(下标i,j的取值为n>=i>j>=1),原命题得证.

注明：Dn≠（x2-x1)(x3-x1)…(xn-x1)Dn-1

范德蒙德行列式的标准形式为:即n阶范德蒙行列式等于这个数的所有可能的差的乘积。根据范德蒙德行列式的特点,可以将所给行列式化为范德蒙德行列式,然后利用其结果计算。常见的方法有以下几种。1利用加边法转化为范德蒙行列式例1:计算n阶行列式分析:行列式与范德蒙行列式比较。

例：

缺行的类似范德蒙行列式

1 1 1 1

a b c d

a^2 b^2 c^2 d^2

a^4 b^4 c^4 d^4

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